Προτεινόμενη άσκηση Μαθηματικών – Γ΄Λυκείου Γε.Λ από το φροντιστήριο: Ράγκος Βαγγέλης _ η ώθηση, στο μέλλον σου
Δίνονται οι συναρτήσεις: fx=ln x+1 ,με x>-1 και η g για την οποία ισχύουν: g(1)=1/2 και για κάθε χ>-1 ισχύει: g’x=1(x+1)2 .
(Α).(α). Να βρείτε τον τύπο της g.
(β). Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφής της.
(γ). Αν gx=xx+1 , να βρείτε το πλήθος των ριζών της συνάρτησης =fx+g(x)
(Β). Να δείξετε ότι τα γραφήματα των f και g , δέχονται ακριβώς μια κοινή εφαπτομένη (ε) στο σημείο Κ( α, φ(α) ), όπου α ρίζα της εξίσωσης φ(χ)=0.
(Γ). (α). Για τις διάφορες τιμές του μ∈R, να υπολογίσετε το όριο: μχμχ+1
(β). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω, που περικλείεται από το γράφημα της f, την ευθεία (ε) και την ευθεία χ = 3∙μχμχ+1 , όπου μ0.
(Δ). Ένα σημείο Μ( χ,f) με χ>0 , κινείται πάνω στο γράφημα της f με την τετμημένη του χ=χ(t) να αυξάνει με ρυθμό 2 cm/sec. Αν Λ η προβολή του σημείου Μ πάνω στο άξονα των χ και Α(0,λ) ένα σημείο με λ>0 τότε :
(α). Αν Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΛ, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του εμβαδού σε κάθε χρονική στιγμή t.
(β). Να βρείτε το σημείο Μ, την χρονική στιγμή που ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού ισούται με: 12ln 2025 +4445 , τ.μ.
Επιμέλεια: Ράγκος Βαγγέλης – Μαθηματικός